高等固体力学 1

主要内容引言应力计算结果的性质与处理子结构法结构对称性与周期性的利用小结非协调元与分片试验引言有限单元法的求解过程（）划分单元，输入节点和单元信息——前处理器（）单元分析：、、（）整体分析：引入位移边界条件，得到（）求解方程——得解（）计算单元或节点的应力、应变。——求解器——后处理器的可视化表示。目前存在的问题（）的精度较低。如何由应力、应变结果的特点改善其精度？（）如何利用结构的几何特点、受力特点简化计算，减少工作量，提高计算效率？（）如：结构与受力的对称性、周期性结构等；子结构法；非协调元概念与应用（非协调元）。应力计算结果的性质与处理应力、应变的计算：——精度较低。误差的原因：（）单元内平衡方程不能精确满足；（）单元交界面上应力不连续；（）边界上边界条件不能得到精确满足等；应力近似解的性质位移解的性质——有限元近似解，——真实解由最小位能原理，可知，具有下限的性质：原因：单元离散等相当于加大了原结构的刚度。应力、应变解、的性质设、、——近似解，、、——真实解，有近似解对应的位能：——()实际的总位能——()=——()在线弹性下，有对于一具体问题，()应为一定值，则()的极值问题归结为：()的极小值问题。将()表示成单元位能泛函的形式，有上式表明：()的极小值问题求解的加权二乘最小值问题。即、为、在加权（、）最小二乘意义下的近似解。、的特点：（）、在真正解、上下振荡；（）在某些点上有：=、=，即存在最佳应力点。利用、的上述特点，作适当处理，可提高应力、应变结果的精度。等参元的最佳应力点如前所说，用位移法进行有限元应力分析归结为求泛函()的极小值问题，即利用弹性力学的几何方程和物理方程，有可见：若近似解是次多项式，为阶微分算子，则为=－次多项式。当行列式为常数时，中被积函数为次多项式，因而要使它们能够精确积分，至少应采用次积分。也就是说，真实应力为次多项式时，数值积分仍为精确的。即有下式精确成立：假设每一单元中的高斯积分点上(=)的每一分量的变分是独立的，则上式成立等价于或也就是说，即使真实应力为次多项式，仍有近似应力等于真实应力。可见，若取阶积分，则在积分点上具有比其本身高一阶的精度。对，也有同样的性质。结论：在等参单元中，单元中阶（=－）积分点上的近似应力比其它部位的应力具有较高的精度。——称阶积分点为等参元中的最佳应力点。单元平均与节点平均问题的提出有限元求得位移解（节点位移）后，其单元应力为（）通常为单元局部坐标的函数；（）相邻单元边界上应力不连续，存在突跳现象；（）结构边界上应力与边界条件不符，等；工程实际问题，通常对单元的边缘和节点的应力分布较关注，所以，需要对应力结果作处理。应力结果的处理方法：相邻单元平均；绕节点平均；应力磨平；利用边界条件修正等取相邻单元应力的平均值适用于节点三角形单元（常应力单元）。（）算术平均：（）面积加权平均：设单元的面积为，节点的应力为：取围绕节点各单元应力的平均值对节点三角形单元、四边形单元等，单元内各点的应力各不相同，设各单元在节点处的应力为则，节点处的平均应力为——围绕节点周围的全部单元数总体应力磨平()基本思想有限单元解得到的单元应力分布特征构造一改进的应力解此改进解满足:)在全域上连续；)与有限元求得的应力解符合加权最小二乘原则。式中：——单元总数；——待求的应力改进值，它在单元内的分布可插值形式得到，如式中：——为待求的改进后节点应力值；——单元的节点数；——插值函数矩阵；可与位移插值函数相同，也可不同。()总体应力磨平法建立如下泛函，并取最小值有限单元解得到的单元应力分布特征将代入泛函作变分运算，并考虑到的任意性，得即：式中：——应力磨平所用的单元数。由此可求出，改进后各节点的应力值。磨平后的单元应力状况总体应力磨平的缺点：计算工作量十分庞大。相当于求解两个有限元问题。单元应力磨平（）基本思想当单元尺寸不断缩小时，单元的加权最小二乘和单元未加权的最小二乘是相当的；另一方面，由于泛函()的正定性，全域的加权最小二乘是单元的加权最小二乘的和。当单元尺寸足够小时，应力磨平可在单元上进行。（）单元应力磨平的方法在单元内建立如下泛函（并令权函数=）并使该泛函取最小，以此求得改进后的节点应力值。其中改进的应力值仍用节点应力的插值表示，即将上式代入单元泛函并使其一阶变分等于零，有——也称局部应力磨平或：由此可求得单元改进后的单元节点应力，再由单元平均或绕节点平均等方法求得精度较高节点的平均应力。说明：()由单元应力磨平采用权函=，使得上述方程变为解耦方程，因而求解工作量大大减少。()对等参元，上述方程中的有限元应力解采用积分点上的应力，则改进后节点应力值精度更高。子域局部应力磨平及外推基本思想：仅对工程实际问题中感兴趣的区域，如应力集中区域、需专门校核应力的区域进行应力磨平、修正处理。引入力的边界条件修正边界应力设有限元法求得单元或节点的应力、应变分量为它们在边界局部坐标方向的分量为局部坐标对此局部坐标有应力、应变关系：令：由第三式可求得：代回第一、二式，得修正后应力：上述结果可对边界应力得到很大改进。子结构法（简介）基本思想四层三跨框架结构单跨横梁结构对于一工程实际的复杂结构，分成若干个部分，每一部分称为一个“子结构”。然后，在子结构上划分单元计算各单元的刚度矩阵、节点载荷列阵并组集子结构的刚度矩阵、节点载荷列阵。其次，将得到的子结构刚度矩阵、节点载荷列阵，作自由度凝聚，得到紧缩的子结构刚度矩阵、节点载荷列阵。最后，将各个子结构紧缩的子结构刚度矩阵、节点载荷列阵，组集成总的结构刚度矩阵、总的节点载荷列阵，引入边界条件后求解。内部自由度凝聚（）子结构内部节点的位移分量（）子结构边界节点的位移分量需要凝聚掉的位移自由度自由度凝聚过程：对图示子结构已建立有限元方程：——子结构的刚度矩阵——分别为子结构的位移列阵、等效节点载荷列阵——交界面上的节点位移——内部及边界节点位移——交界面上的节点等效载荷——内部及边界节点等效载荷将子结构的方程写成分块形式：由第二个方程求出：将其代入第一个方程，消去有令：方程简化为：结构对称性与周期性的利用具有对称面的结构对称面上边界条件的确定：（）将对称面上位移分量分为对称分量和反对称分量，如：垂直对称面为对称位移分量；与对称面相切为反对称位移分量；（）将载荷分为对称和反对称（）对称面上边界条件的确定：（）对同一对称面，在对称载荷时，对称的位移分量为零。（）对同一对称面，在反对称载荷时，反对称的位移分量为零。轴对称体受非轴对称载荷的情况旋转周期结构单元划分时注意事项：在结构形状变化剧烈处，单元设置稠密一些在载荷变化剧烈处，单元设置稠密一些非协调元与分片试验()（）对边界有良好的适应性引言等参元的优点（）如同其母单元一样，表达格式简明（）具有与母单元同样的收敛性等参元的局限性其计算精度和效率不够高，具有提高的潜力。原因：中存在不完全的高次多项式，它们对单元精度提高不起作用。如：（）结点四边形单元：——双线性（完全的多项式仅为一次）就线性的完全多项式而言，仅需个节点个自由度即可描述。（）节点四边形单元：——二次单元（完全的多项式为二次的）就完全二次多项式而言，仅需个节点个自由度即可描述。多余个节点。上述情况，在空间问题中更为严重。不完全的高次多项式不但不能提高精度，有时可起负面作用。例如：用二维双线性单元描述纯弯曲应力状态该问题的精确解为：由平面问题的几何方程和物理方程，得：——为纯弯曲的应力状态。、为弹性常数。若用双线性矩形单元模拟该应力状态：对照精确解，有：由几何方程，得由物理方程近似位移近似剪应力近似的误差原因：位移中缺完全的二次多项式。非协调元基本思想在不增加单元自由度情况下，位移插值函数中，增加一些附加项，使其构成完全多项式，以弥补原位移插函数中非完全多项式的不足。称这些附加项为：内部无节点位移项。以节点四边形等参元为例，采用自然坐标，其附加项为附加项特点在节点处，附加项的值为零，不影响节点位移附加项的二次项使位移成为完全二次多项式二维节点非协调元位移模式：其中：——称为内部自由度，无明确的物理意义将单元位移插值用矩阵表示：其中：应变、单元位能泛函、单元有限元方程：将假设单元位移代入几何方程得：代入单元位能泛函由得：其中：——原节点线性单元的刚度阵单元的内部自由度凝聚由上式中的第二式可解出：将上式的第一式，有整理，消去有令：说明：（）上述方程包括了附加内节点位移项得到的单元刚度阵和载荷列阵。（）单元刚度矩阵的阶数与原线性单元相同。消去附加自由度~的过程，称为内部自由度凝聚。（）若不存在体积力（≡）则有进一步略去中的第二项，则——与原线性协调单元相同实践证明，作以上处理后，计算量大大减少，且对精度影响不太大。例题：悬臂梁受载荷和载荷作用，如图所示。采用节点矩形单元计算。存在的问题：单元边界上位移分布：——元不满足协调条件，为非协调单元。相邻单元边界的位移不能连续。非协调元单元收敛性如何？实践证明：对于类型问题，若在单元尺寸趋于零（即单元应变趋于常应变）时，其位移的连续性能得到恢复，则非协调元的解仍能趋于精确解。检验非协调元是否收敛性的条件为：（）位移模式能否描述常应变？（）在常应变的条件下，能否自动地保证位移的连续性？分片试验采用任意不规则网格单元组成的单元片时能否模拟常应力状态。能通过分片试验的非协调元，其有限元解一定收敛于精确解。分片试验——艾恩斯（）分片试验原理考虑一任意的单元片，如图所示，其中至少有一个节点是完全被单元所包围的，如图中的节点，其平衡方程为：考察：当赋于单元片各个节点以与常应变相应位移值和载荷值时，校验平衡方程是否满足，即此时节点的平衡条件是否满足。分片试验原理：如果满足，则认为通过分片试验，即单元满足常应变的要求，此时，当单元尺寸不断缩小时，有限元解能收敛于真正解。分片试验的方法步骤（）赋予单元片中各节点以（与常应变状态相对应）位移和载荷值（）将赋予的各节点位移和载荷值代入平衡方程（）判别平衡方程是否满足。若满足，则通过分片试验，解能收敛于真正解。平面问题中非协调元的分片试验平面问题中，与常应变对应的位移为：取各节点的位移值为：与常应变（常应力）对应的节点载荷：应有：——无体力——无面力—无集中力此时，分片试验条件变为：分片试验条件的意义：（）若平衡方程不成立，表明单元片具有与常应变相应的位移时，节点不能平衡。必须在节点处施加外力(如加约束力)，才能保持节点平衡。导致非协调单元不能反映常应变的要求。（）若平衡方程不成立，从能量角度看，是由于单元间的不协调变形损失外力的功。分片试验的另一提法：当单元片的边界节点赋予和常应变相对应的位移时，求解平衡方程得到分片内部节点的位移。若和常应变状态一致，则通过分片检验。平面节点四边形非协调元的分片试验条件位移模式：其中：——附加的内部自由度两种情形：（）当时，单元一定满足收敛性条件，（）当单元片各点赋予与常应变相应有位移：因而，必定通过分片试验。时，也应有：——平面节点四边形非协调元的分片试验条件节点四边形非协调元的方程为：由第二式可求得：当不存在体积力（≡）时可取则：常应变状态时：则非协调内位移为：∴应有显然，当为常数矩阵时，成立，即通过分片试验，该非协单元是满足收敛性条件的。其中：结论：平面节点四边形非协调元的收敛条件：说明：()满足此条件的单元为：平行四边形单元和矩形单元()对一般四边形单元不能通过分片试验，不满足收敛性条件。但可作如下近似处理：取：可得较好的结果。——建议（）类似可构造节点六面体非协调单元：位移模式：其中：通过分片试验的条件：（）平行六面体，（）对非平行六面体，取其精度可达到节点六面体单元的精度。满足分片试验条件的另外一种公式推导单元内位移和应变分别为：其中分别是协调和非协调位移。代入到位能泛函要求泛函的一阶变分为，得由上式进一步可以得到单元内，交界面以及给定力边界上的平衡条件，除此之外，还有：此条件相当于各单元边界上的力在非协调位移所做虚功之和为可进一步要求在常应力状态时，每个单元内应该满足：也可等价的表示为：或：不满足上述条件的非协调应变矩阵，可修正如下：或对平面问题：小结应力解的特点及改善应力结果的方法阶积分点为等参元中的最佳应力点。应力解的特点改善应力结果的方法相邻单元应力平均算术平均面积加权平均围绕节点各单元应力的平均——围绕节点周围的全部单元数总体应力磨平单元应力磨平子域局部应力磨平及外推引入力的边界条件修正边界应力仅对工程实际问题中感兴趣的区域，如应力集中区域、需专门校核应力的区域进行应力磨平、修正处理。以上应力结果的处理方法是自适应分析的基础。子结构法、对称结构和周期性载荷的利用子结构法的基本思想与方法对称结构的利用周期性载荷的利用非协调单元及其分片试验非协调单元构造的基本思想——增加附加内位移项，使假设单元位移场构成完全多项式非协调单元构造方法——平面节点四边形非协调元；空间节点六面体非协调元。非协调单元收敛性的检验方法：——分片试验——分片试验的原理、方法